GdT OT–PDE–ML

10:00 Hugo Koubbi

Homogenized Transformers

Abstract

Studiamo un modello aleatorio di self-attention profonda a più teste, in cui i pesi vengono campionati nuovamente e in modo indipendente tra strati e teste, come all'inizializzazione dell'addestramento. Considerando la profondità come variabile temporale, il flusso residuo definisce un sistema di particelle interagenti a tempo discreto sulla sfera unitaria. Dimostriamo che, sotto opportune leggi di scala congiunte per la profondità, l'ampiezza del passo residuo e il numero di teste, questa dinamica ammette un limite omogeneizzato non banale. A seconda della legge di scala, il limite è deterministico oppure stocastico con rumore comune; nel regime di campo medio, quest'ultimo conduce a un'equazione stocastica non lineare di Fokker–Planck per la legge condizionata di un token rappresentativo. Nel caso gaussiano, la deriva limite si annulla, rendendo la dinamica omogeneizzata sufficientemente esplicita per studiare il collasso delle rappresentazioni. Ne derivano relazioni quantitative tra dimensione, lunghezza del contesto e temperatura, che permettono di individuare regimi in cui l'aggregazione in cluster può essere attenuata.

11:00 Alice Le Brigant

On the Wasserstein Geodesic Principal Component Analysis of probability measures

Abstract

In questo intervento discuteremo come effettuare l'analisi delle componenti principali (PCA) di un insieme di dati i cui elementi sono distribuzioni di probabilità, confrontate mediante la distanza di Wasserstein. L'obiettivo è individuare, nello spazio delle misure di probabilità, le curve geodetiche che descrivono meglio i modi di variazione dei dati. A tal fine utilizziamo l'interpretazione riemanniana della metrica di Wasserstein. Considereremo dapprima una collezione di distribuzioni gaussiane centrate e mostreremo come trasferire i calcoli nello spazio delle applicazioni lineari invertibili mediante la geometria di Bures-Wasserstein. Nel caso più generale delle misure di probabilità assolutamente continue, utilizzeremo la geometria di Otto-Wasserstein e le reti neurali per parametrizzare le geodetiche nello spazio di Wasserstein. Infine, confronteremo questo approccio con la PCA tangente classica attraverso vari esempi e presenteremo applicazioni a dati reali.

10:30 Vladimir Petrovic

Fast coresets for the Sinkhorn divergence

Abstract

La divergenza di Sinkhorn è diventata un sostituto ampiamente utilizzato della distanza di Wasserstein nella comunità dell'apprendimento automatico. Pur avendo un comportamento topologico simile, comporta un costo di calcolo più contenuto e possiede proprietà che la rendono particolarmente adatta all'ottimizzazione. In questo intervento cercheremo un piccolo sottoinsieme pesato di un grande insieme di dati che rappresenti fedelmente l'insieme completo rispetto alla divergenza di Sinkhorn. A tal fine combineremo tre algoritmi, ottenendo un tempo di esecuzione complessivo subquadratico. Mostreremo che il coreset così costruito ha una bassa divergenza di Sinkhorn e confronteremo numericamente l'efficienza del nostro metodo con quella degli approcci esistenti in diversi compiti di apprendimento.

10:00 Rotem Assouline

Magnetic Brunn-Minkowski inequalities

Abstract

In questo intervento considereremo medie di Minkowski su varietà riemanniane, in cui l'interpolazione avviene lungo geodetiche magnetiche che minimizzano l'azione rispetto a un dato potenziale magnetico. Vedremo che le disuguaglianze di Brunn-Minkowski per questa operazione caratterizzano i limiti inferiori di una curvatura di Ricci magnetica. Tra gli esempi figurano campi magnetici naturali su varietà di Kähler e sasakiane; nel primo caso si ottiene, come caso particolare, una disuguaglianza di Brunn-Minkowski orociclica sullo spazio iperbolico complesso. Osserveremo inoltre che potenziali magnetici chiusi appartenenti a classi di coomologia diverse possono dare luogo a medie geodetiche di Minkowski differenti.

11:00 Filippo Quattrocchi

Nonlinear kinetic equations as gradient flows

Abstract

Molte equazioni evolutive alle derivate parziali, sia lineari sia non lineari, come l'equazione del calore e quella dei mezzi porosi, possono essere interpretate come flussi gradiente nello spazio metrico di Wasserstein delle misure di probabilità. Questo risultato classico offre strumenti generali per dimostrare l'esistenza e l'unicità delle soluzioni, costruire approssimazioni numeriche e ottenere stime di convergenza sotto ipotesi deboli. In questo intervento estendiamo questa prospettiva alle equazioni cinetiche. Introduciamo dapprima discrepanze d_h che misurano l'accelerazione minima delle traiettorie che collegano due misure di probabilità assegnate sullo spazio delle fasi. Mostriamo poi che, nella geometria indotta da d_h, le soluzioni dell'equazione cinetica non lineare di Fokker-Planck possono essere viste come flussi gradiente dell'energia libera. Ne consegue la convergenza di uno schema di Eulero implicito basato su d_h verso tali soluzioni. L'intervento si basa su arXiv:2502.15665, in collaborazione con G. Brigati (ISTA) e J. Maas (ISTA), e su un lavoro in corso con G. Brigati (ISTA), G. Carlier (CEREMADE, Paris Dauphine-PSL) e J. Dolbeault (CEREMADE, Paris Dauphine-PSL).

14:00 Dario Trevisan

Large Deviations, Kernels, and Feature Learning in Bayesian Wide Neural Networks

Abstract

Le reti neurali larghe sono spesso descritte da limiti dati da processi gaussiani, che ne rappresentano il comportamento tipico all'inizializzazione e nei regimi di lazy training. Queste approssimazioni, tuttavia, non descrivono le fluttuazioni rare ma strutturalmente significative che determinano gli effetti di larghezza finita, la concentrazione della distribuzione a posteriori e l'apprendimento delle caratteristiche. In questo intervento presenteremo una prospettiva basata sulle grandi deviazioni per le reti neurali profonde, che va oltre i limiti gaussiani.

Discuteremo dapprima alcuni risultati recenti che stabiliscono un principio funzionale delle grandi deviazioni per reti completamente connesse con inizializzazione gaussiana e funzioni di attivazione Lipschitz, inclusa ReLU. Ciò fornisce una descrizione probabilistica dell'intera uscita della rete come funzione aleatoria su insiemi compatti di ingressi, con una funzione di tasso caratterizzata da una struttura variazionale ricorsiva tra gli strati.

Passiamo poi alle reti neurali bayesiane e mostriamo come la teoria delle grandi deviazioni conduca a una caratterizzazione variazionale esplicita della distribuzione a posteriori sui predittori. A differenza della teoria dei processi gaussiani, in cui il kernel è fissato, la funzione di tasso delle grandi deviazioni comporta un'ottimizzazione congiunta sulle uscite e sui kernel interni, fornendo una nozione naturale di apprendimento delle caratteristiche a livello funzionale. Gli esperimenti numerici mostrano come questo quadro descriva effetti non gaussiani, deformazioni della distribuzione a posteriori e una selezione dei kernel dipendente dai dati in reti di larghezza moderata.

Questi risultati suggeriscono che la teoria delle grandi deviazioni offre un quadro rigoroso per comprendere l'apprendimento delle rappresentazioni nelle reti neurali larghe, collegando le proprietà asintotiche probabilistiche al comportamento pratico oltre le approssimazioni gaussiane. Basato su arXiv:2601.18276 e arXiv:2602.22925.

14:00 William Ford

Quantitative Uniqueness of Kantorovich Potentials

Abstract

Studiamo l'unicità delle soluzioni del problema duale di trasporto ottimo, sia dal punto di vista qualitativo sia da quello quantitativo, attraverso stime sul diametro dell'insieme degli ottimizzatori. Mostriamo che, se una misura marginale ha supporto connesso per archi rettificabili, l'altra ha supporto limitato e c è C^1_loc, gli ottimizzatori duali sono unici a meno di una costante in L^1. Si tratta del primo risultato di unicità duale che permette a entrambi i supporti di essere concentrati su sottoinsiemi di dimensione inferiore a quella dello spazio ambiente. Dal punto di vista quantitativo, dimostriamo che, se c è C^{1, \alpha} e il supporto di una delle misure marginali si trova a distanza di Hausdorff \epsilon da un insieme regolare e connesso in R^d, il diametro in L^\infty dell'insieme dei potenziali duali ottimali è di ordine al più \epsilon^{\alpha/(\alpha + 1)}. Questo risultato deriva da una nuova caratterizzazione dell'insieme dei potenziali duali ottimali come intersezione di una famiglia esplicita di semispazi.

15:00 João Miguel Machado

From functional and geometric inequalities to quantitative stability of variational problems in optimal transport and convex geometry

Abstract

Negli ultimi anni, chi si occupa di disuguaglianze funzionali e geometriche ha dedicato molta attenzione alle loro versioni di stabilità quantitativa. La domanda generale è la seguente: una volta individuate le funzioni ottimali, o rispettivamente gli insiemi ottimali, associati a una disuguaglianza funzionale o geometrica, possiamo quantificare la distanza di una funzione qualsiasi dalla varietà degli ottimizzatori, ossia dalla classe di funzioni per le quali la disuguaglianza diventa un'uguaglianza? In questo intervento discuteremo come utilizzare questi risultati per ottenere la stabilità quantitativa delle soluzioni di problemi variazionali.

Inizieremo discutendo una versione quantitativa della disuguaglianza di Brascamp-Lieb sulla varianza di una funzione rispetto a una misura log-concava, dimostrandone l'ottimalità. I nostri metodi sono strettamente legati alla teoria delle misure di momento sviluppata da Cordero-Eurasquin e Klartag (2015) e da Santambrogio (2016). Mostreremo poi come utilizzare la stabilità quantitativa delle disuguaglianze di Prékopa-Leindler e di Brascamp-Lieb per la varianza per comprendere la stabilità quantitativa delle misure di momento attraverso una formulazione variazionale.

Idee analoghe si applicano naturalmente alla stabilità quantitativa delle soluzioni del problema di Minkowski, le cui origini risalgono a Minkowski e Alexandrov negli anni Trenta. Le studieremo attraverso la teoria di Brunn-Minkowski sviluppata da Figalli-Maggi-Pratelli (2012), combinata con la precedente teoria di Diskant (1964), basata sulla distanza di Hausdorff tra insiemi convessi. Lavori congiunti con João Pedro Ramos e con João Pedro Ramos e Károly Böröczky.

14:00 Filippo Santambrogio

Sans surprises, si on met Sinkhorn dans le JKO on trouve de la diffusion linéaire / No surprises: putting Sinkhorn into JKO yields linear diffusion

Abstract

Le schéma JKO est une méthode d’approximation pour trouver des solutions ρ d’EDP sous la forme “équation de continuité où le champ de vitesse v est l’opposé du gradient de la variation première d’une fonctionnelle F”, qui consiste à minimiser de manière itérative une combinaison de F et du carré de la distance W_2 à la densité trouvée à l’étape précédente, avec un paramètre τ qui correspond à un pas de temps. En particulier, lorsque F est l’entropie de ρ, on trouve l’équation de la chaleur. Pour des raisons computationnelles, on est tentés de remplacer le vrai coût de transport définissant W_2 par son approximation entropique, à l’origine de la méthode numérique de Sinkhorn, ce qui nécessite le choix d’un coefficient ε devant l’entropie du plan de transport γ. Si ε est très petit, on s’attend à converger vers la même EDP, flot de gradient de F, mais si ε est grand il semblerait qu’une diffusion supplémentaire apparaîtrait. Dans un article récent avec A. Baradat et A. Hraivoronska nous prouvons que c’est bien le cas. Plus précisément, lorsque ε/τ→α, l’équation qu’on obtient à la limite est celle du flot de gradient de F avec un terme de plus de la forme αΔρ.

Traduzione dell'abstract inglese: lo schema JKO è un metodo di approssimazione per trovare soluzioni ρ di equazioni alle derivate parziali della forma «un'equazione di continuità in cui il campo di velocità v è l'opposto del gradiente della prima variazione di un funzionale F». Per ragioni di calcolo, si può essere tentati di sostituire il costo di trasporto che definisce W_2 con la sua regolarizzazione entropica (approssimazione di Sinkhorn). Quando ε/τ→α, l'equazione limite è il flusso gradiente di F con un termine aggiuntivo della forma αΔρ.

14:00 Christophe Vauthier

Variational Analysis in the Wasserstein Hierarchy

Abstract

Sia M una varietà riemanniana completa e connessa. Per n ≥ 0, dotiamo lo spazio di Wasserstein P⁽ⁿ⁾₂(M) = P₂(… P₂(M)…), munito della distanza di Wasserstein W₂, di una struttura variazionale che generalizza la struttura variazionale standard su P₂(M) fornita dalla teoria del trasporto ottimo. Il nostro approccio utilizza strumenti della teoria delle categorie per trasferire la struttura geometrica della varietà M agli spazi P⁽ⁿ⁾₂(M), così da costruire in modo sistematico un quadro teorico rigoroso per l'analisi variazionale sullo spazio P⁽ⁿ⁾₂(M). In particolare, otteniamo una caratterizzazione precisa delle geodetiche a velocità costante dello spazio P⁽ⁿ⁾₂(M) in termini di piani di velocità ottimali. Introduciamo inoltre una nozione di gradiente per i funzionali definiti su P⁽ⁿ⁾₂(M), che permette di studiare la differenziabilità e la convessità di vari tipi di funzionali.

15:00 Dmitry Vorotnikov

Adaptive Gradient Flow Scheme and Dual Variational Solutions to the Nash System

Abstract

Studiamo l'influenza dei cosiddetti stati di base sulla consistenza della formulazione variazionale duale per sistemi quadratici di equazioni alle derivate parziali non necessariamente conservativi; tra gli esempi tipici figura il sistema di Nash senza rumore, con Hamiltoniana quadratica e più giocatori. Individuiamo una condizione necessaria affinché la consistenza valga su lunghi intervalli di tempo. In particolare, nel caso di un solo giocatore, esiste una successione di stati di base, ciascuno pienamente consistente, che converge in media a zero. Proponiamo inoltre uno schema basato su flussi gradiente hilbertiani che, a partire da uno stato di base arbitrario, genera una successione di nuovi stati di base che si prevede converga a una soluzione dell'equazione originale. Basato su un lavoro in corso con A. Acharya (Carnegie Mellon).

14:00 Agnès Desolneux

La distance MW_2 entre mélanges de gaussiennes : définition, extensions et applications

Abstract

Dans cet exposé je présenterai plusieurs extensions et applications de la distance MW_2 introduite avec Julie Delon. Cette distance s’obtient en considérant le transport usuel W_2 et en le restreignant aux plans de transport qui sont eux-mêmes des mélanges de gaussiennes (GMM). Il en résulte une distance MW_2 qui s’exprime comme un problème de transport discret dans l’espace des mesures gaussiennes. Je montrerai plusieurs applications de cette distance, ce qui nécessite souvent d’abord de pouvoir obtenir une application (map) de transport à partir d’un plan de transport. Je parlerai aussi de l’extension à la distance de Gromov-Wasserstein pour pouvoir faire du transport entre GMM vivants dans des espaces euclidiens de dimensions différentes.

15:00 Luca Tamanini

La structure de « infimal convolution » de la distance de Hellinger-Kantorovich

Abstract

Liero, Mielke et Savaré ont conjecturé que la distance de Hellinger-Kantorovich peut être exprimée comme la « infimal convolution » métrique des distances de Hellinger et de Wasserstein. Cette affirmation est assez claire, du moins intuitivement, si l’on compare les représentations dynamiques des trois distances. Cependant, aucune démonstration rigoureuse n’avait encore été fournie.

14:25 Samuel Vaiter

Differentiation of Sinkhorn

Abstract

Il trasporto ottimo entropico è ormai uno strumento comune nell'apprendimento automatico grazie all'algoritmo di Sinkhorn. Viene quindi utilizzato di frequente in procedure che impiegano la retropropagazione. In questo intervento discuterò alcune proprietà delle derivate dell'EOT e delle iterate di Sinkhorn. Lavoro congiunto con E. Pauwels (TSE).

16:00 Benjamin Capdeville

Hidden gradient flow structures for the Moran process and the Kimura equation

Abstract

In questo intervento presenterò il processo di Moran e il suo limite per popolazioni numerose, l'equazione di Kimura, spiegandone il legame con i flussi gradiente di Wasserstein. La degenerazione della diffusione al bordo conduce infatti allo studio di una versione condizionata della dinamica, interpretabile come un flusso gradiente di Wasserstein con geometria sottostante degenere, che coinvolge la metrica di Shahshahani. Infine, vedremo che la dissipazione indotta dal flusso gradiente nascosto nel caso continuo approssima bene la dissipazione nel caso discreto nel limite di popolazioni numerose.

16:20 Quentin Giton

A Kantorovich framework for diffusion models

Abstract

I modelli generativi mirano a imparare la distribuzione di probabilità da cui provengono i dati osservati e a generare campioni da essa. Dopo una breve panoramica dei metodi esistenti, mostrerò come costruire un modello generativo mediante il trasporto ottimo: facciamo evolvere una distribuzione qualsiasi verso una gaussiana seguendo il flusso gradiente di un'energia libera nella metrica di Wasserstein, che implementiamo con lo schema JKO. In pratica, non possiamo calcolare esattamente la misura successiva dello schema: parametrizziamo quindi linearmente il potenziale di Kantorovich associato e ne apprendiamo i pesi mediante SGD. Il caso semi-discreto emerge come un caso particolare facilmente interpretabile. Presenterò la costruzione e i risultati attuali, per i quali non disponiamo ancora di stime complete dell'errore, insieme ad alcune animazioni che mostrano il comportamento generativo del modello.

16:40 Louis Tocquec

Convergence rates for regularized unbalanced optimal transport: the discrete case

Abstract

Il trasporto ottimo non bilanciato (UOT) è un'estensione naturale del trasporto ottimo (OT) che permette di confrontare misure con masse diverse. Trova applicazione nell'apprendimento automatico grazie alla sua robustezza rispetto ai valori anomali. L'obiettivo di questo lavoro è fornire tassi di convergenza dei piani di trasporto e dei potenziali regolarizzati verso le rispettive soluzioni originali quando entrambe le misure sono somme pesate di masse di Dirac.

14:00 Giovanni Conforti

Semiconcavity of entropic potentials and exponential convergence of Sinkhorn’s algorithm

Abstract

Il problema di trasporto ottimo entropico è una versione regolarizzata del problema classico di trasporto ottimo: consiste nel minimizzare l'entropia relativa rispetto a una distribuzione di riferimento tra tutti gli accoppiamenti di due marginali assegnate. In questo intervento studieremo la stabilità degli ottimizzatori e la convergenza esponenziale dell'algoritmo di Sinkhorn, ampiamente utilizzato per risolvere l'EOT nella pratica. Nella prima parte mostreremo il ruolo centrale della semiconcavità delle variabili duali ottimali, note come potenziali entropici, nella comprensione di entrambi i problemi. Nella seconda parte discuteremo come ottenere stime di semiconcavità in casi di interesse, quali marginali log-concave o marginali a supporto limitato. Lavoro congiunto con A. Chiarini, G. Greco e L. Tamanini.

14:00 Averil Aussedat

Towards a characterization of the geometric tangent cone to the Wasserstein space

Abstract

Lo spazio di Wasserstein ammette una famiglia di coni tangenti geometrici costruiti a partire dalle geodetiche. Questi coni tangenti formano un sottoinsieme, generalmente proprio, delle misure sul fibrato tangente. L'intervento affronta la seguente domanda: possiamo stabilire se un elemento appartiene al cono tangente esaminando la derivata direzionale della distanza di Wasserstein lungo tale elemento? Presenteremo il contesto della domanda, i risultati attualmente disponibili e alcune questioni aperte.

14:55 Julie Delon

Beyond Wasserstein: a general fixed-point approach for computing barycentres of measures

Abstract

In questo intervento studieremo il calcolo dei baricentri per costi di trasporto ottimo generali, andando oltre i ben noti baricentri di Wasserstein. Introdurremo un algoritmo di punto fisso che generalizza i lavori precedenti e ne dimostreremo la convergenza sotto ipotesi minime. Il nostro approccio si applica a un'ampia classe di funzioni di costo e di misure di probabilità, offrendo un quadro flessibile per il calcolo numerico dei baricentri di trasporto per costi generali. Lavoro congiunto con Eloi Tanguy e Nathaël Gozlan.

15:50 Clément Soubrier

Applying optimal transport based metrics to analyze biological shape heterogeneity

Abstract

L'analisi delle forme è fondamentale per comprendere le funzioni biologiche e le proprietà di cellule e proteine. Piccole variazioni di forma e di conformazione possono incidere notevolmente sulle interazioni con l'ambiente circostante. Per cogliere queste variazioni, abbiamo sviluppato strumenti di allineamento e metriche basati sul trasporto ottimo, che consentono di quantificare l'eterogeneità delle forme e classificare i morfotipi. Presenterò in particolare le difficoltà numeriche legate all'allineamento e al calcolo delle metriche, insieme ad alcuni esempi di classificazione di dati biologici.

14:00 Johannes Hertrich

Wasserstein Gradient Flows for Maximum Mean Discrepancies with Riesz Kernels

Abstract

Motivati dalle funzioni di perdita basate su kernel nell'apprendimento automatico, studiamo i flussi gradiente di Wasserstein per la discrepanza media massima (MMD) con kernel di Riesz, nota anche come distanza di energia. Poiché il kernel non è regolare né $\lambda$-convesso, gran parte della teoria standard dei flussi gradiente di Wasserstein non si applica a questo caso. Per superare questa difficoltà, caratterizziamo i flussi gradiente di Wasserstein mediante le direzioni di massima discesa, ottenendo soluzioni analitiche in alcuni casi particolari. Dedichiamo particolare attenzione al caso unidimensionale, in cui lo spazio di Wasserstein può essere immerso isometricamente in uno spazio di Hilbert: ciò consente di descrivere esplicitamente i flussi gradiente di Wasserstein attraverso equazioni differenziali ordinarie unidimensionali. Dal punto di vista numerico, il calcolo dei flussi MMD può risultare oneroso a causa dell'integrale doppio. Proponiamo quindi una valutazione rapida del prodotto matrice-vettore associato al kernel mediante slicing. Grazie a questo calcolo rapido della MMD, possiamo applicare i flussi MMD a problemi di grandi dimensioni; presenteremo un esempio di modellazione generativa su insiemi di immagini standard.

15:15 Christophe Vauthier

Critical points of the Sliced-Wasserstein distance

Abstract

La metrica SW ha suscitato notevole interesse nella letteratura sul trasporto ottimo e sull'apprendimento automatico: riesce infatti a cogliere proprietà geometriche complesse delle distribuzioni di probabilità mantenendo un costo di calcolo contenuto. È quindi uno strumento utile in varie applicazioni, tra cui la modellazione generativa e l'adattamento di dominio. Il nostro studio mira a fornire un'analisi rigorosa dei punti critici che emergono dall'ottimizzazione del funzionale SW. Calcolando perturbazioni esplicite, dimostriamo che i punti critici stabili di SW non possono concentrarsi su segmenti. Questa analisi di stabilità è essenziale per comprendere il comportamento degli algoritmi di ottimizzazione dei modelli addestrati mediante il funzionale SW. Studiamo inoltre le proprietà del funzionale SW, chiarendo l'esistenza e il comportamento di convergenza dei punti critici. Illustriamo i risultati teorici attraverso esperimenti numerici.

14:00 Borjan Geshkovski

Measure-to-measure interpolation using Transformers

Abstract

I Transformer sono architetture di reti neurali profonde alla base dei recenti successi dei grandi modelli linguistici. A differenza delle architetture più classiche, interpretabili come applicazioni da punti a punti, un Transformer agisce come un'applicazione da misure a misure, realizzata mediante uno specifico sistema di particelle interagenti sulla sfera unitaria: l'ingresso è la misura empirica dei token di un prompt e la sua evoluzione è governata dall'equazione di continuità. I Transformer non si limitano alle misure empiriche e possono, in linea di principio, elaborare qualsiasi misura in ingresso. Forniamo una scelta esplicita dei parametri che consente a un singolo Transformer di associare N misure arbitrarie in ingresso a N misure obiettivo arbitrarie, sotto l'ipotesi minima che ogni coppia di misure ingresso-obiettivo possa essere collegata da una mappa di trasporto.

15:15 Erwan Stämpfli

Ballistic Benamou Brenier formulation of Porous media and viscous Burgers equations

Abstract

Studiamo una formulazione variazionale dell'equazione dei mezzi porosi e dell'equazione di Burgers viscosa, introdotta da Yann Brenier. Ricaviamo le soluzioni dal minimizzatore di un funzionale spazio-temporale che presenta una notevole somiglianza con la formulazione di Benamou Brenier del trasporto ottimo. Costruiamo una discretizzazione e dimostriamo la convergenza dello schema numerico associato.

14:00 Maxime Sylvestre

Estimées de régularité du transport optimal via régularisation entropique

Abstract

Le théorème de contraction de Caffarelli assure le caractère Lipschitz du transport optimal entre une gaussienne et une mesure à log-densité fortement concave. En 2022 Chewi et Pooladian ont proposé une preuve de ce théorème utilisant la version entropique du transport optimal. Nous proposons ici une extension de ces deux résultats qui se fonde sur l’inégalité de Prekopa-Leindler. L’utilisation de l’inégalité de Prekopa-Leindler permet de relâcher les hypothèses de régularité sur les log-densité et d’introduire une anisotropie. Nous en déduisons des résultats de régularité et de croissance pour le transport optimal lorsque la cible est log-concave.

15:15 Raphaël Barboni

Convergence of gradient flow for the training of deep neural networks

Abstract

Studiamo la convergenza del flusso gradiente per l'addestramento di reti neurali profonde. Le reti neurali residuali sono un esempio molto diffuso di architetture estremamente profonde, ma il loro addestramento costituisce un problema di ottimizzazione impegnativo, soprattutto a causa della non convessità e della non coercività della funzione obiettivo. Eppure, nelle applicazioni, questi problemi vengono risolti con successo da semplici algoritmi di ottimizzazione, come la discesa del gradiente. Per comprendere meglio questo fenomeno, consideriamo un modello di «campo medio» di una ResNet infinitamente profonda e arbitrariamente larga, parametrizzato da misure di probabilità sul prodotto dell'insieme degli strati e di quello dei parametri, con marginale costante sull'insieme degli strati. Nel caso delle reti neurali poco profonde, i modelli di campo medio hanno infatti mostrato una geometria più semplice della funzione di perdita e buone garanzie teoriche quando vengono addestrati con il flusso gradiente per la metrica di Wasserstein sull'insieme delle misure di probabilità. Motivati da questo approccio, proponiamo di addestrare il nostro modello mediante il flusso gradiente rispetto alla distanza di trasporto ottimo condizionale: una restrizione della distanza di Wasserstein classica che impone la nostra condizione sulla marginale. Attraverso un'analisi locale di Polyak-Łojasiewicz, dimostriamo la convergenza del flusso gradiente per inizializzazioni opportune: se il numero di caratteristiche è finito ma sufficientemente grande e il rischio iniziale è sufficientemente piccolo, il flusso gradiente converge a un minimizzatore globale.

14:00 Arthur Stephanovitch

Smooth transport maps via diffusion and applications to generative models

Abstract

Mostriamo che la mappa di Langevin che trasporta la gaussiana d-dimensionale verso una deformazione k-regolare è (k+1)-regolare. Presentiamo applicazioni di questo risultato alle disuguaglianze funzionali e ai modelli generativi.

15:15 Louis-Pierre Chaintron

14:00 Pablo López Rivera

Un taux pour la convergence uniforme des potentiels entropiques

Abstract

Dans le cadre euclidien quadratique, le théorème de Brenier-McCann nous dit que, sous de faibles hypothèses, le problème de transport optimal entre deux mesures a une solution unique qui possède une structure bien définie : l’application optimale correspond au gradient d’une fonction convexe, que l’on appelle potentiel de Brenier. Cependant, leur estimation est difficile, car cela revient à résoudre l’équation de Monge-Ampère associée, une EDP non linéaire d’ordre deux. Cependant, si l’on régularise le problème de transport optimal en ajoutant une entropie modulée par un paramètre de température, cette régularisation entropique nous fournit une approximation de l’application optimale si la température est basse. Dans cet exposé, j’exhiberai un taux de convergence pour les potentiels entropiques et leurs gradients vers leurs équivalents non régularisés, pour la convergence uniforme sur tout compact, sous des hypothèses de convexité.

14:00 Anastasia Hraivoronska

The fully discrete JKO scheme for nonlinear diffusion and crowd motion models

Abstract

Questo intervento presenta una formulazione dello schema JKO ristretta alle misure atomiche su una griglia regolare, come approssimazione discreta nello spazio dello schema JKO standard. Discuteremo come utilizzare questa formulazione completamente discreta per sviluppare nuovi schemi numerici per equazioni di diffusione non lineari con deriva e per il modello di movimento delle folle. Il risultato principale è la convergenza dello schema verso le corrispondenti equazioni alle derivate parziali al tendere a zero dei passi di discretizzazione temporale e spaziale.

15:00 Nicola Meunier

TBD